لإثبات أن \(-\frac{3}{4} \leq q(s) \leq -\frac{1}{4}\) لجميع \(s\) في الفاصل \([0, \pi]\)، يمكننا القيام بالخطوات التالية:
1. **البداية:** استخدم معرفة أن \( \cot(\theta) \leq -1 \) عندما \( \theta \) في الربع الثالث \((\frac{\pi}{2}, \pi)\) لتبسيط الوظيفة.
2. **تبسيط الوظيفة:**
\[ q(s) = \frac{1}{4} \cot(s) - \frac{1}{2}s \]
3. **تحليل سلوك الوظيفة:**
- \( \cot(s) \) هو سالب في الفاصل \([0, \pi]\) (لأنها تقع في الربع الأول).
- \(-\frac{1}{2}s\) هو سالب أيضًا في هذا الفاصل.
لذا، يمكن أن نتوقع أن \(q(s)\) ستكون سالبة.
4. **الحساب:**
لحساب الحد الأدنى والأقصى، يمكننا استخدام قيمة \(s = \frac{\pi}{2}\) و \(s = \pi\) على التوالي.
- عند \(s = \frac{\pi}{2}\):
\[ q\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{1}{4} \cot\left(\frac{\pi}{2}\right) - \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{1}{4} \]
- عند \(s = \pi\):
\[ q(\pi) = \frac{1}{4} \cot(\pi) - \frac{1}{2}\pi = -\frac{3}{4} \]
يظهر أن \(-\frac{3}{4} \leq q(s) \leq -\frac{1}{4}\) على فاصل \([0, \pi]\).
بهذا، تم إثبات النتيجة المطلوبة.
يمكنكم طرح اسئلتكم والعودة للمنصة من خلال البحث في جوجل عن: اسال المنهاج
